Edição 85

Espaço pedagógico

Dificuldades apresentadas pelos alunos do 7º ano

José Henrique Feliciano Silva

No estudo da Matemática, uma das dificuldades apresentadas pelos alunos é a memorização de regras para a resolução de problemas. Quase sempre, o que eles “aprendem” acabam esquecendo com muita facilidade, porque não há uma real compreensão dos principais conceitos estudados.

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Durante o ano de 2014, os professores de Matemática do Ensino Fundamental séries finais de um colégio da rede particular de ensino em Moreno, Pernambuco, verificaram o baixo rendimento apresentado pelos alunos na disciplina de Matemática no que tange à adição com números inteiros relativos e seu oposto aditivo. A dificuldade ficou clara quando foram estudadas equações do 1o grau. Os alunos não apresentaram grandes dificuldades sobre o conceito de equação do 1o grau, sua raiz e como encontrá-la. No entanto, no ato da resolução das equações, constatou-se uma dificuldade muito grande que surgiu na aplicação da equação quanto aos números inteiros.

Segundo Onetta (2002), a falta de entendimento sobre as operações envolvendo números inteiros gera deficiência na abordagem de outros assuntos. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ratificam essa dificuldade. Segundo os PCN (1997), o ensino dos números inteiros relativos costuma ser cercado de dificuldades, e os resultados, no que se refere à aprendizagem ao longo do Ensino Fundamental, têm sido bastante insatisfatórios.

Os PCN (1997) alertam que a ênfase na memorização de regras para efetuar cálculos, geralmente descontextualizados, costuma ser a tônica da abordagem dada aos números no terceiro e quarto ciclos. Como decorrência disso, muitos alunos não chegam a reconhecer os números inteiros relativos como extensão dos naturais e, apesar de memorizarem as regras de cálculo, não as conseguem aplicar adequadamente, por não terem desenvolvido uma maior compreensão do que seja número negativo. Baseado na dificuldade apresentada pelos alunos no entendimento dos números inteiros relativos, buscou-se, através deste artigo, uma metodologia alternativa que atenue esses problemas no processo de ensino-aprendizagem.

Por isso, os procedimentos metodológicos foram aplicados e desenvolvidos a partir de quatro momentos, em que os resultados obtidos a partir das análises da investigação apontaram que o jogo Tabuleiro Numérico, trabalhado em sala de aula, serviu como um recurso didático excelente no processo de ensino-aprendizagem, no que tange às operações com números inteiros relativos.

Problema de Pesquisa

Por que os alunos do 7o ano do Ensino Fundamental sentem dificuldades no ato da operação de adição e oposto aditivo com números inteiros relativos?

Justificativa

Grandes são as dificuldades apresentadas pelos alunos do 7o ano do Ensino Fundamental no ato do ensino das operações com números inteiros relativos. Entre elas, podem ser citadas a operação de adição envolvendo o oposto aditivo ou até mesmo uma operação envolvendo dois números negativos. Após ter observado em sala de aula tais dificuldades, fui envolvido por uma grande preocupação que me levou a questionar: como buscar alternativas de ensino que possam minimizar tais dificuldades? Como propor um melhor entendimento para o assunto? Nesse sentido, o presente estudo tem como objetivo utilizar jogos como recurso didático, na tentativa de não apenas minimizar essas dificuldades, mas também buscar alternativas de ensino que possam contribuir com o professor na sala de aula e com o processo de ensino-aprendizagem.

Objetivo Geral

Analisar como se desenvolve a aquisição dos conceitos da operação de adição e oposto aditivo com números inteiros relativos dos alunos do 7o ano do Ensino Fundamental.

Objetivos Específicos

Levantar dados sobre as operações de adição e oposto aditivo com números inteiros relativos no 7o ano do Ensino Fundamental.

Identificar as dificuldades apresentadas pelos alunos do 7o ano do Ensino Fundamental no ato das operações com números inteiros relativos.

Sugerir alternativas de ensino para as operações de adição e oposto aditivo que contribuam com o ensino dos números inteiros relativos, utilizando como recurso didático o Tabuleiro Numérico.

Breve Relato Histórico sobre os Números Inteiros Relativos

A Idade Antiga é marcada pelas suas grandes civilizações. Entre elas, podem se destacar as civilizações babilônica, egípcia, grega e chinesa. Nessas civilizações antigas, existiam estudiosos matemáticos algebristas que discutiam assuntos de difícil aceitação para a época, como a utilização dos números inteiros relativos e de suas operações. A aceitação dos números inteiros relativos e a utilização de suas operações foi um processo muito lento e bastante polêmico. Por exemplo, os algebristas árabes e os da Europa Medieval só levavam em consideração as raízes positivas, enquanto os algebristas italianos, como Cardano (1501–1576), Scipione Del Ferro (1465–1526) e Tartaglia (1500–1557), mesmo de forma assídua, contribuíram para o estudo e o aprimoramento das equações de terceiro e quarto graus, evitando os números inteiros relativos como coeficientes em suas equações algébricas.

A origem dos números inteiros relativos e de suas operações básicas é atribuída a Diofanto, entre os séculos II e III d.C. Diversos autores, como Boyer (1996) e Talavera (2001), corroboram com essas afirmativas. Nicolas Chuquet introduziu o expoente negativo e uma extensiva discussão de equações que, ocasionalmente, admitem soluções negativas. Além disso, define número da seguinte forma:

Número, na medida em que ele é expediente de nossos propósitos, é tomado aqui num sentido geral, não somente como coisa, que é a coleção de várias unidades, mas também é 1 ou parte e partes de 1, tal como qualquer fração. Todo número, qualquer que ele seja, é compreendido e interpretado em muitos caminhos (CHUQUET apud NEPOMUCENO, 1999).

Leonhard Euler manuseava os números inteiros relativos com muito cuidado e muita dedicação em seus artigos. Em uma de suas obras realizadas para principiantes, justificou a regra dos sinais. Sua comprovação, segundo Glaeser (1969) apud Flávia (2006), pode ser dividida em três partes, ou seja:

i) A multiplicação de uma dívida por um número positivo não apresenta qualquer dificuldade: Três dívidas de a escudos fazem uma dívida de 3a escudos. Logo b . (–a) = –ab.

ii) Por comutatividade, Euler deduz daí que (–a) . b = –ab.

iii) Resta determinar o que é [grifo nosso] o produto (–a) por (–b).

É claro, diz Euler, que o valor absoluto é ab. Trata-se, portanto, de decidir entre +a . b e –a . b; como (–a) . b caracteriza-se da forma –ab, logo, entende-se que a única possibilidade de ocorrência é dada por (–a) . (–b) = +ab (GLAESER, 1969, p. 64 e 65 apud FLÁVIA, 2006, p. 13).

Os exemplos utilizados por Euler nas equações do 1o grau são realizados considerando apenas raízes positivas, no entanto Euler considerava algumas equações quadráticas descritas em seu texto com raiz negativa, porém não fez nenhum comentário sobre essas raízes. Em 1821, o matemático francês Augustin Cauchy utiliza uma metáfora (positivo = aumento; negativo = diminuição) com relação aos números inteiros relativos para melhor compreensão. De modo formal, Cauchy apresenta a multiplicação de números inteiros através de símbolos (formados por um sinal e um valor absoluto). Com base nessas convenções, representando-se por A uma quantidade qualquer, pode-se afirmar que: Se a = +A e b = –A, tem-se que +a = +A, +b = –A, –a = –A e –b = +a. Assim, atribuindo-se, nas quatro últimas equações, os valores de a e b entre parênteses, pode-se se chegar aos modelos:

+ (+A) = +A , + (–A) = –A
– (+A) = –A , – (–A) = +A

Em cada um desses modelos, o sinal do segundo membro é o que chamamos de produto dos sinais do primeiro. Multiplicar dois sinais é formar seu produto. Finalmente, no final do século XIX, o alemão Hermann Hankel publicou a Teoria dos Sistemas Complexos com o propósito absoluto de trazer uma definição à teoria dos números complexos (um conceito mais contemporâneo que os números inteiros negativos). Hermann Hankel assegurava que os números não são descobertos, e, sim, inventados, imaginados. Dentro desse contexto lógico, ele abordava o ponto de vista “concreto” utilizando-se da praticidade de exemplos, começando, a partir de então a usar uma perspectiva diversa, porém formal.

Segundo Jahn (1994), Viète, considerado um dos maiores algebristas de seu tempo, permitiu uma compreensão clara dos números negativos fazendo com que seus conceitos não fossem mais questionados. No século XV, Michael Stifel escreveu a Arithmetica Integra, considerado um dos mais importantes livros de álgebra impressos, que priorizava, de maneira significativa, os números negativos, os radicais e as potências. Ao utilizar os coeficientes negativos em equações, Stifel reduzia muitas equações quadráticas a uma única forma e apresentava uma regra especial para o emprego dos sinais + ou –.

Abordagem à Utilização de Jogos como Recurso Didático no Processo de Ensino-aprendizagem

Os jogos têm uma importância cultural muito grande nas escolas. Os PCN (2007) visam à utilização de jogos como recurso didático no ambiente escolar. Para Batllori (2006), o jogo é diversão e fonte de aprendizado, estimulando o sujeito e facilitando atitudes socializantes. Os principais papéis dos jogos são criar nos alunos a capacidade de raciocínio lógico, atitude e novos conhecimentos e promover para os professores uma forma alternativa de apreensão do conhecimento sobre o conceito estudado.

Para Nascimento (2002, p. 09), no 7o ano do Ensino Fundamental, quando se introduz o conceito de número negativo na escola, os professores começam a perceber que os alunos não realizam corretamente operações de adição e de subtração em determinadas situações.

Muitos deles começam a demonstrar algumas dificuldades, tais como:

Admitir, a partir de agora, algo menor que zero.

Aceitar a representação (–4), visto que sua ideia de número positivo está conectada à cardinalidade de: como podem existir –4 bolas?

Realizar operações do tipo 3 – 5 = (se, até então, de 3 não se podem tirar 5).

Identificar, na ordenação dos números negativos (–2 como maior que –5). Se aparentemente a representação simbólica do valor 5 sempre lhe foi indicada como maior que a representação simbólica do valor 2.

Realizar operações do tipo: 2 – (–5) = e –3 – (–7) = em que o sinal de – é apresentado com dois significados (subtração e indicação de número negativo).

Identificar o valor zero não como ausência, mas como resultado da operação de dois valores opostos ou como um valor que representa a separação numérica dos positivos e dos negativos representados na reta.

É de fundamental importância para o educador saber identificar quais jogos podem ser considerados em sala de aula, sabendo que ele é o intermediador entre o jogo e o princípio matemático que gostaria de passar para os alunos. Por isso:

Nem todo jogo é um material pedagógico. [...] o elemento que separa um jogo pedagógico de outro de caráter apenas lúdico é que os jogos ou brinquedos pedagógicos são desenvolvidos com a intenção explícita de provocar uma aprendizagem significativa, estimular a construção de um novo conhecimento e, principalmente, despertar o desenvolvimento de uma habilidade operatória (ANTUNES, 1998, p. 38).

Os jogos nas escolas, por muitas vezes, foram deixados de lado, sendo negligenciados por muitos, vistos como uma atividade de descanso ou apenas como um passatempo; porém, os jogos pedagógicos são desenvolvidos com a intenção explícita de provocar uma aprendizagem significativa, estimular a construção de um novo conhecimento e principalmente despertar o desenvolvimento de uma habilidade operatória.

Para Kishimoto (1999), uma das principais características de um jogo é o prazer, e isso o torna uma brincadeira agradável, mas, quando imposto, deixará de ser jogo. Já Cecília (2009) aponta que os jogos trabalhados em sala de aula devem ter regras e, por esse motivo, podem ser classificados em três tipos:

i) Jogos Estratégicos: neles, são trabalhadas as habilidades que compõem o raciocínio lógico. Com eles, os alunos leem as regras e buscam caminhos para atingir o objetivo final, utilizando estratégias para isso. O fator sorte não interfere no resultado.

ii) Jogos de Treinamento: são utilizados quando o professor percebe que alguns alunos precisam de reforço num determinado conteúdo e quer substituir as cansativas listas de exercícios. Neles, quase sempre o fator sorte exerce um papel preponderante e interfere nos resultados finais, o que pode frustrar as ideias anteriormente colocadas.

iii) Jogos Geométricos: têm como objetivo desenvolver a habilidade de observação e o pensamento lógico. Com eles, é possível trabalhar figuras geométricas, semelhanças de figuras, ângulos e polígonos (p. 34).

O bom uso dos jogos no ambiente escolar tem como um dos seus principais objetivos fazer com que os estudantes comecem a despertar o interesse pela disciplina, modificando a rotina da classe. Dentro de uma situação de jogo, é impossível uma atitude passiva, pois a motivação é grande e isso se justifica pelo desempenho apresentado pelos alunos durante seus processos de aprendizagem. (BORIN, 1996, p. 53).

Metodologia

A metodologia utilizada nesta pesquisa teve uma abordagem quantitativa, qualitativa e exploratória de forma descritiva e descritiva. Quantitativa por quantificar os dados obtidos através de amostras, que se caracterizam apropriadas a situações que possibilitem a utilização de medidas (MOREIRA, 2003). Qualitativa por levar o pesquisador a uma análise mais específica dos fenômenos estudados, ou seja, ações das pessoas, grupos ou organizações em seu ambiente social. Exploratória de forma descritiva por possibilitar uma melhor compreensão do fenômeno estudado. E descritiva por fornecer a descrição dos fatos a partir das análises (OLIVEIRA, 2008). O campo de estudo foi uma escola da rede particular de ensino no município do Moreno-PE, envolvendo-se 16 alunos do 7o ano do Ensino Fundamental. Os alunos tiveram 50 minutos para responder às cinco questões propostas no questionário investigativo. Para responder às questões, os alunos não receberam nenhuma informação que viesse facilitar a identificação das questões propostas no questionário investigativo. Os procedimentos metodológicos foram desenvolvidos em quatro momentos. No primeiro momento, foi aplicado o questionário investigativo. No segundo momento, os dados levantados foram catalogados num quadro de registros. No terceiro momento, a partir dos dados catalogados, foram construídos tabelas e gráficos. No quarto e último momento, foram realizadas as análises dos dados da investigação.

Pressupostos Investigativos

Neste momento, serão demarcados os pressupostos investigativos. Suas caracterizações possibilitarão uma análise mais específica e homogênea das questões que compõem o questionário investigativo que servirá como régua de correção para a análise de cada questão proposta.

Primeira questão

Esta questão foi elaborada com o objetivo de saber se os alunos do 7o ano do Ensino Fundamental têm o conhecimento correto sobre o conjunto dos números inteiros relativos.

Segunda questão

Esta questão tem por finalidade abordar, de forma direta, o conhecimento adquirido pelos alunos concernente à simetria no conjunto dos números inteiros.

Terceira questão

O objetivo principal desta questão é descobrir se os alunos conseguem, na prática, desenvolver expressões numéricas no conjunto dos números inteiros, envolvendo adição e seu oposto aditivo.

Quarta questão

A quarta questão é contextualizada, com o propósito de saber se o aluno consegue interpretar o enunciado, transformando as informações da linguagem usual em linguagem matemática.

Quinta questão

O objetivo desta questão é avaliar se os alunos conseguiram absorver o conhecimento adquirido pelo jogo Tabuleiro Numérico aplicado em sala de aula no que tange aos números inteiros relativos.

Descrição das Análises dos Dados da Investigação

As informações obtidas através do questionário investigativo foram sistematicamente organizadas e registradas no Quadro 1, como pode ser observado a seguir.

Quadro 1: Referência ao questionário investigativo

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A partir dos resultados obtidos no Quadro 1 e no Gráfico 1 citados, foi possível observar que os alunos, nas questões 3 e 4, consideradas o foco da pesquisa, em sua maioria, não apresentaram bons resultados.

Gráfico 1: Referente ao questionário investigativo

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A partir das informações obtidas através do questionário investigativo aplicado no Quadro 1, é possível observar as caracterizações do conhecimento dos alunos envolvidos na pesquisa. As informações abaixo foram organizadas e registradas em função de uma forma geométrica no Gráfico 1, para uma melhor percepção e discussão dos resultados.

Resultado e Discussão a Partir das Análises da Investigação

Neste momento, serão demarcadas as descrições dos resultados do questionário investigativo a partir das análises dos dados pesquisados das questões resolvidas inadequadamente. Poderemos também observar, no questionário investigativo, que houve uma melhor compreensão sobre os números inteiros relativos, a partir do jogo Tabuleiro Numérico trabalhado em sala de aula, para, por fim, conseguirmos a conclusão desta pesquisa.

Caracterizações das Análises dos Dados a Partir da Investigação

Na questão 1, 62,5% dos alunos responderam adequadamente, enquanto 37,5% deles responderam inadequadamente. Isso mostra que a maioria dos alunos sabe identificar o conjunto dos números inteiros relativos.

Na questão 2, 81,25% dos alunos responderam adequadamente enquanto 18,25% deles responderam inadequadamente. Podemos entender com isso que não há muita dificuldade na compreensão sobre simetria no conjunto dos números inteiros.

Na questão 3, 50% dos alunos responderam adequadamente, e 50% dos alunos responderam inadequadamente. Isso mostra que existe uma igualdade entre os alunos que sabem desenvolver expressões numéricas e os que não sabem.

A questão 4 trata-se de uma pergunta contextualizada que 37,5% dos alunos responderam adequadamente, enquanto 62,5% responderam inadequadamente. Isso mostra que os alunos, em sua grande maioria, têm muita dificuldade em transformar a linguagem usual em linguagem matemática. Ou seja, relacionar a Matemática e suas aplicações com fatos do seu cotidiano.

Na questão 5, foi considerada uma aplicação prática do jogo Tabuleiro Numérico, com a intenção de saber se houve ou não uma aprendizagem significativa dos números inteiros relativos. Desta feita, utilizando jogos como recurso didático. 81,25% responderam adequadamente, enquanto apenas 18,75% responderam inadequadamente, mostrando que o jogo melhorou muito a compreensão dos alunos com respeito às operações com números inteiros relativos.

Considerações Finais

Como artefatos incorporados ao trabalho escolar, os recursos didáticos contribuem para estabelecer condições em que o ensino e a aprendizagem se realizem, e, nesse sentido, eles têm uma grande importância e podem cumprir funções específicas, dependendo de suas características e das formas pelas quais eles participam da produção das aulas. Pode-se dizer, de forma geral, que os recursos didáticos se constituem um dos mediadores entre a integração da teoria com a prática que é ensinada e aprendida. Se forem assim entendidos, não é difícil compreender que um dos elementos fundamentais da relação que estabelecemos com eles está na intencionalidade que guia a escolha e a utilização dos recursos didáticos, em diferentes situações e com diferentes finalidades.

Um dos objetivos deste artigo foi detectar e descrever as dificuldades apresentadas pelos alunos do 7o ano do Ensino Fundamental II com relação à adição com números inteiros relativos juntamente com seu oposto aditivo. Uma das grandes dificuldades apresentadas pelos alunos está relacionada com o conceito de compreender números menores que o zero e poder fazer a integração entre a adição desses números. Outra dificuldade apresentada pelos alunos está relacionada com a de transformar em linguagem matemática o enunciado das questões, como pode ser visto nas questões 3 e 4 do questionário investigativo deste artigo. Tendo em vista essa grande dificuldade, este artigo buscou, através de recursos didáticos, uma melhor forma de aprender, integrando teoria e prática, contribuindo com o professor nesse desenvolvimento e servindo como ferramenta facilitadora para o aluno no processo de ensino-aprendizagem.

Sendo assim, tendo em vista o tema pesquisado, o professor tem um papel fundamental no processo de elaboração, entendimento e prática dos recursos didáticos que podem ser trabalhados em sala de aula. Cabe a ele refletir e elaborar propostas didáticas que melhor enfrentem os obstáculos apresentados pelos alunos.

José Henrique Feliciano Silva é licenciado em Matemática pelas Faculdades Integradas da Vitória de Santo Antão/PE (FAINTVISA) e professor da rede particular de ensino.

Contato: jose.henrique59@gmail.com

Endereço eletrônico: professorhenrique59.blogspot.com

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